Minicursos

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Serão oferecidos os seguintes Minicursos:

MC01 — “A matemática por trás do nascimento do Google“

— Bruno Rodrigues Santiago (UFF)

Neste minicurso explicaremos a matemática por trás do algorítmo pagrank, inventado no final da década de 90 pelos criadores do Google, Lawrence Page e Sergey Brin, e que iniciou uma nova era de revolução tecnológica. Mostramos como é possível modelar a internet como uma Cadeia de Markov e como o problema de ranquear as páginas da internet em ordem crescente de importância pode ser resolvido calculando-se o autovetor de uma matriz. Discutiremos as inumeras e belas idéias de análise que se entrelaçam na solução desse problema.

MC02 — “Introdução à Análise Matemática dos Escoamentos Incompressíveis“

— Anne Caroline Bronzi (UNICAMP)

A descrição do movimento da água em um passeio de barco ou do ar durante o voo de um avião pode ser feita através de um sistema de equações conhecido como as equações de Navier-Stokes. Para entender matematicamente tais fenômenos é crucial a compreensão do comportamento das soluções desta equação. No entanto, questões fundamentais como existência e unicidade de solução das equações que regem a dinâmica dos fluidos incompressíveis ainda não foram completamente respondidas. Destacamos que um dos sete problemas do milênio, propostos pelo Clay Institute, é exatamente o de demonstrar a existência global no tempo de soluções suaves das equações de Navier-Stokes incompressíveis em três dimensões ou a formação de singularidade em tempo finito. A mesma pergunta pode ser formulada para as equações de Euler, que descrevem o movimento dos escoamentos ideais (invíscidos), sendo este um problema também em aberto e de grande relevância. Neste curso faremos uma introdução ao tema através da análise do comportamento de algumas soluções particulares. Além disso, discutiremos vários tipos de abordagem do problema e alguns dos principais resultados relacionados à existência e unicidade de solução para essas equações.

MC03 — “Introdução às Famílias Resolventes“

— Aldo Pereira Solis (UnB)

O conceito de família resolvente foi introduzido no ano 1980 como uma extensão da noção de semigrupo, necessária para estudar a existência de solucões de equações integro-diferenciais de primeira ordem. Ao longo dos anos, essa teoria foi sendo desenvolvida rapidamente. As soluções de certas equações abstratas podem ser escritas em termos das famílias resolventes. Outros conceitos como semigrupos integrados, famílias cosseno e seno, resolventes fracionárias, famílias (a,k)-regularizadas, entre outras, podem ser consideradas porque elas têm um papel crucial na representação das soluções de diversos tipos de equações. Portanto, conhecer as propriedades das famílias resolventes permite obter importantes propriedades qualitativas das soluções destas equações abstratas.

MC04 — “Perturbação de domínios e fenômenos de homogeneização em matemática“

— Ricardo Parreira da Silva (UnB)

O objetivo deste minicurso é introduzir métodos matemáticos utilizados no estudo de problemas de perturbações de domínio para equações diferenciais parciais. Daremos ênfase às equações que modelam fenômenos físicos em materiais compostos e/ou com complicada microestrutura. Os pré-requisitos necessários são: conhecimentos rudimentares de análise funcional e análise real. Conhecimentos elementares de equações diferenciais são valorizados mas não necessários.

 MC05 — “Uma aplicação de Cálculo no estudo de raízes de Polinômios“

— Maurício Donizetti Pieterzack (UFG)

Neste minicurso um dos nossos objetivos é abordar e mostrar um resultado sobre máximos e mínimos de funções reais que não costuma ser trabalhado em disciplinas de Cálculo Diferencial. Alguns resultados sobre funções contínuas, incluindo o Teorema da Conservação do Sinal, Teorema do Anulamento de Bolzano serão tratados. Iremos formalizar os conceitos e o objetivo é fazer a demonstração rigorosa desses resultados. Para isso, introduziremos os conceitos de vizinhança, cota superior e supremo de um conjunto. Um outro objetivo desse minicurso, que utilizará alguns resultados provados anteriormente, é mostrar qual é o comportamento de um polinômio numa vizinhança de uma raiz. Para atingir esse objetivo, faremos um estudo preliminar de algumas propriedades de polinômios, tais como divisão de polinômios e o Teorema da Decomposição. Estaremos interessados apenas nas raízes reais de polinômios e, portanto, não abordaremos raízes complexas. Finalizamos estudando o comportamento do gráfico de um polinômio em torno de uma raiz simples, dupla ou tripla.

MC06 — “Atratores globais para sistemas dinâmicos não-lineares“

— Juliana Fernandes da Silva Pimentel (UFRJ)

Este minicurso pretende ser uma introdução à área geral dos Sistemas Dinâmicos de Dimensão Infinita. O comportamento a longo prazo das soluções para esses sistemas será o foco principal. Os atratores relacionados a esses objetos capturam a maioria das informações relevantes sobre a dinâmica (forwards ou backwards) para tempos arbitrariamente grandes. Considerando isso, esperamos dar ao público uma exposição bastante completa e autocontida da teoria dos atratores. Serão evocados resultados clássicos para problemas dissipativos autônomos e seus atratores compactos. Exploraremos ainda a ferramenta alternativa para problemas em que condições críticas como dissipatividade não são verificadas. Portanto, as principais características dos atratores ilimitados serão também abordadas.

MC07 — “Aspectos Combinatórios do Polinômio de Gauss“

— Irene Magalhães Craveiro (UFGD) e Mariana Fabiane Garcia Travassos (UFGD)

O foco principal deste trabalho é explorar o conceito de coeficiente binomial juntamente com suas propriedades, abordando os aspectos algébricos e combinatórios dessa definição. Em seguida, iremos apresentar o polinômio de Gauss, enfatizando que esse polinômio avaliado na indeterminada q=1, reduz-se ao coeficiente binomial e neste caso dizemos que esse polinômio é uma extensão do coeficiente binomial. Para isso, desenvolvermos a noção de partição, juntamente com a ideia de função geradora descrevendo a função geradora ordinária para certas classes de partições. Para finalizar faremos a abordagem combinatória para o polinômio de Gauss combinatória por meio de partições em no máximo m partes com cada parte menor do que ou igual a N.

MC08 — “E aí, vamos conversar sobre sistemas dinâmicos?“

— Oscar Alexander Ramı́rez Cespedes (UFV) e Otávio Marçal Leandro Gomide (UNICAMP)

A área de sistemas dinâmicos é relativamente nova na matemática, com cerca de cem anos. Seu surgimento foi motivado pela ambição da comunidade em resolver problemas ligados à astronomia e à mecânica celeste, e desde então seu uso tem-se estendido a todos os ramos da ciência, desde a sociologia até a física nuclear. Nos últimos anos, o Brasil ganhou notoriedade internacional nesta área devido aos trabalhos de diversos pesquisadores tais como Poincaré, Smale, Palis, Viana, Ávila, Sotomayor, Teixeira, entre outros. Neste contexto, o objetivo desse minicurso é apresentar de maneira sucinta e intuitiva, aos alunos de graduação interessados, uma visão geral sobre sistemas dinâmicos exigindo-se o mínimo de matemática possível.

MC09 — “Análise Geométrica de Cúpulas e Estruturas de Concreto Armado“

— Flausino Lucas Neves Spindola (UFMA)

Pretende-se realizar um ensinamento, em nível introdutório, de conceitos da Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies a alunos de graduação em Matemática, Engenharia e demais Ciências Exatas. A motivação para o estudo desses conceitos abstratos está no entendimento das cúpulas, em vários períodos arquitetônicos, e nas estruturas de concreto armado, que geram grande fascínio e curiosidade aos visitantes e habitantes dos grandes centros urbanos brasileiros. Pretende-se mostrar, motivados pela arquitetura européia, e até pelas técnicas de construções indígenas, a importância do estudo das linhas de curvatura, e como, em geral, as linhas se comportam próximas a estes pontos. Com isso, abordaremos a teoria de superfícies e a equação diferencial das linhas de curvatura. Mostraremos (em exibição por datashow) a solução computacional desta equação para superfícies utilizadas em construções civis e verificaremos que coincidem com as linhas de encaixe dos blocos de concreto. Apresentaremos estudos de Engenharia Civil (compreensíveis ao público-alvo) que justificam as técnicas construtivas tendo como base a Geometria Diferencial. O minicurso tem uma perspectiva interdisciplinar. Por fim, queremos que o aluno saia do minicurso com uma visão diferente das disciplinas de Cálculo, Geometria Diferencial e Equações Diferenciais, com a capacidade de verificar nas construções ao seu redor elementos de matemática que nem sempre são bem motivados. Despertar paixões é o pilar fundamental na formação de nossos jovens cientistas. Com base nisso submetemos esta proposta; fundamentados no propósito deste Colóquio divulgar e disseminar a Matemática na Região Centro-Oeste e, por consequência, no Brasil.

MC10 — “Códigos Corretores de Erros: Mágica e outras Magias“

— Leandro Bezerra de Lima (UFMS), Otávio José Neto Tinoco Neves dos Santos (UEMS) e Marcos Vinícius Pereira Spreafico (UFMS)

Os códigos de barras presentes nos produtos de supermercado tem a função de codificar as informações do produto para facilitar a transmissão dessas informações, por exemplo, para controlar o estoque ou facilitar o pagamento na hora de passar os produtos no caixa. É fácil de imaginar o transtorno causado por um erro na leitura de um código de barras. Associado ao código de barras existe um número formado por 13 dígitos, os 12 primeiros trazem informações sobre o produto, fabricante e país de fabricação, o último dígito é uma redundância acrescentada ao código de modo que, por meio de operações aritméticas, um erro possa ser detectado. Existem outros códigos presentes, por exemplo, os códigos utilizados nos sistemas de comunicação digital (televisão digital e telefones celulares) e nos sistemas de armazenamentos de dados (CD, DVD e memórias de computador). Nestes casos, para garantir que a informação chegue ao seu destino ou que seja reproduzida com integridade essas informações devem estar codificadas de modo, caso um erro ocorra, além de ser detectado, o erro seja também corrigido, pois pode não ser possível retransmitir ou rearmazenar a informação. A informação do processo de codificação e decodificação para detecção e correção de erros está na escolha adequada das informações de redundância acrescentadas nas mensagens. Apresentaremos os conceitos de códigos de subespaços geometricamente uniforme, que são códigos com propriedades álgebricas e geométricas interessantes tanto do ponto de vista matemático quanto de comunicações, além de possuírem eficientes algoritmos associados ao processo de decodificação, apresentaremos também uma classe de códigos de subespaços n-shot geometricamente uniforme por meio da utilização do canal n-vezes. Por fim, faremos uma breve discussão de uma proposta de construção de códigos quânticos de subespaços na Grassmanianna.